ХВИЛІ, зміни в часі (обурення) будь-яких фізичних параметрів середовища (полів), що поширюються в просторі і переносять енергію і інформацію. Хвильові процеси різної природи грають виключно важливу роль у природі та житті людини. Так, що надходить від Сонця на Землю енергія переноситься в основному електромагнітними хвилями різного діапазону. Завдяки світловому і радіовипромінюванню ми отримуємо інформацію про віддалених космічних об'єктах, в тому числі що знаходяться «на краю Всесвіту». Хвильовий характер мають електричні імпульси, що поширюються по нервових волокнах живих організмів (дивись Нервовий імпульс). Мікрооб'єкти, що вивчаються в квантовій фізиці, мають властивості не тільки часток, але і хвиль (дивись Корпускулярно-хвильовий дуалізм, Хвилі де Бройля).
Найбільш звичними з найдавніших часів є хвилі на поверхні рідини, для яких характерне переміщення коливань її рівня, хоча сама рідина в цілому може залишатися нерухомою. В обсягах рідин і газів можуть поширюватися поздовжні пружні хвилі стиснення і розрідження (акустичні хвилі, в тому числі звукові), в яких зміщення частинок середовища відбуваються вздовж напрямку поширення хвилі (рис. 1а). У твердих середовищах можуть існувати також і поперечні хвилі, в яких зміщення відбуваються поперек напрямку поширення хвилі (рис. 1б). Такі хвилі обох типів, що пронизують всю товщу Землі, виникають при землетрусах. Поперечними є і ізгібние хвилі в струнах і стрижнях. Необхідна умова поширення хвильових рухів з кінцевою швидкістю - наявність інерції середовища і локальної (близкодействии) зв'язку між змінами параметрів в сусідніх її точках, що приводить до появи поворотної сили. Так, в разі поздовжньої хвилі стиснення середовища в деякій області призводить до підвищення тиску в ній і передачі руху в сусідні області. Пружні хвилі і хвилі на поверхні рідини фактично є розповсюджується обуренням середовища (відхиленням від стану рівноваги), проте електромагнітні хвилі (світло, радіохвилі і ін.), Що представляють собою взаємопов'язані просторово-часові зміни електричних і магнітних полів, поперечних до напрямку поширення, існують і в вакуумі. Загальна теорія відносності пророкує також можливість поширення у вакуумі гравітаційних хвиль.
Реклама
У всіх випадках, коли перенесення хвильових збурень від однієї точки простору в іншу відбувається в результаті причинно-наслідкових зв'язків між полями в цих точках, швидкість їх поширення не може перевищувати швидкість світла з в вакуумі. Однак при використанні джерел, спеціально розташованих уздовж деякої лінії, можна створювати обурення, що переміщаються уздовж неї зі як завгодно великий (в тому числі надсвітовою) швидкістю. У чисто кінематичному сенсі такі процеси іноді теж називають хвилями, але при цьому не відбувається перенесення енергії і в динамічному сенсі подібний процес хвилею не є.
Ті, що біжать хвилі, фазова і групова швидкості. Найпростішим і типовим прикладом хвильових рухів є біжучі хвилі, в яких відповідна динамічна змінна s (наприклад, тиск в звуковій хвилі) залежить від часу t і однієї просторової координати Х за законом:
s (х, t) = F (х-vt),
де F - довільна функція. Величина s залишається постійною при х-vt = const, і весь профіль хвилі переміщується вздовж осі Х без спотворень зі швидкістю v = Δх / Δt; такі хвилі називаються стаціонарними. Значення v залежить від конкретної хвильової системи; так, для електромагнітних хвиль в ізотропному непроводящей середовищі v = ε / (εμ) 1/2, де ε і μ - діелектрична і магнітна проникності середовища, а в рідинах і газах швидкість звуку визначається їх адіабатичній сжимаемостью. Вираз s (х, t) є рішенням хвильового рівняння
d2s / dx2 - v-2d2s / dt2 = 0,
званого в одновимірному випадку рівнянням Д'Аламбера.
Просторово-часова структура реальних хвильових полів може бути різноманітною - у вигляді окремих імпульсів, цугов (обмеженого ряду повторюваних збурень) і досить близькою до періодичної. особливо важливе значення мають і знаходять широке застосування хвилі, близькі до синусоїдальним (званим гармонійними), коли характеризує хвильове поле динамічна величина описується виразом:
s (x, t) = А sin φ (х, t), φ (x, t) = ωt - kx + φ0,
де А - амплітуда (Найбільше зміщення від положення рівноваги), φ0 - початкова фаза хвилі, ω = 2π / Т кутова частота коливань, k = 2π / λ - хвильове число, λ - довжина хвилі (відстань між сусідніми максимумами або мінімумами), Т - період (час, за який здійснюється повний цикл коливань). Точки з постійною фазою φ (х, t) = const (хвильовий фронт) при цьому переміщаються в просторі з фазової швидкістю vф = ω / k = λ / Т. Маючи на увазі подібні «біжать» коливальні структури, хвилю іноді визначають як поширюються коливання. У багатьох хвильових системах значення v по-різному на різних частотах (має місце дисперсія хвиль), залежність v (ω) або еквівалентну їй співвідношення ω (k) називається дисперсійним рівнянням. Для електромагнітних хвиль дисперсія визначається частотною залежністю параметрів ε і μ середовища; в вакуумі ε = μ = 1 і дисперсії немає (швидкість хвилі не залежить від їх частоти і дорівнює с). Для хвиль в плазмі, однак, ця дисперсія досить істотна. У більшості рідин дисперсія акустичної хвилі досить мала. Довгі поверхневі хвилі на «мілкій воді» (глибина шару рідини <λ) поширюються швидше коротких. Це справедливо і для виникають при землетрусах потужних хвилях - цунамі.
У загальному випадку фазу плоскої хвилі можна записати у вигляді: φ (r, t) = ωt - kr, де k - хвильовий вектор, перпендикулярний фронту хвилі, r - радіус-вектор точки простору.
Використовувані на практиці хвилі (сигнали) не є строго гармонійними: або амплітуда, або фаза, або частота їх плавно змінюються в масштабах Т і λ (модулюються; дивись Модуляція коливань і хвиль), причому переноситься сигналом інформація кодується саме законом модуляції. У диспергирующей середовищі відмінність фазових швидкостей окремих спектральних складових призводить до того, що огинає сигналу в загальному випадку поширюється з так званої групової швидкістю, відмінною від фазової швидкості на частоті ω: ωгр = dω / dk = v - λdv / dλ.
Саме групова швидкість хвилі являє собою реальну швидкість поширення сигналу, в тому числі перенесення енергії, і релятивістський обмеження відноситься саме до неї (vгp <с); фазова ж швидкість хвилі в принципі може перевищувати швидкість світла. Можливі й такі хвильові системи, коли фазова і групова швидкості спрямовані в протилежні сторони, такі хвилі називаються зворотними хвилями.
В лінійних диспергирующих системах форма обвідної хвилі залишається незмінною лише на обмежених відстанях. На великих відстанях починаються спотворення; зокрема, короткі імпульси починають розпливатися, так як різні спектральні складові сигналу поширюються з різною швидкістю. На таких відстанях поняття групової швидкості вже втрачає фізичний зміст.
Інтерференція хвиль. Хвилі будь-якої природи здатні интерферировать. Під інтерференцією розуміється взаємне посилення або ослаблення двох або більшого числа хвиль, що перекриваються в просторі, в залежності від співвідношення їх фаз. Сумарна інтенсивність двох гармонійних хвиль з однаковими частотами і амплітудами A1 і А2 в області їх перекривання дорівнює
А2 = А12 + A22 + 2A1A2cos Δφ;
різницю повних фаз хвиль Δφ різна в різних точках простору. У тих точках, де Δφ = 0 (або кратно цілому числу 2π), результуюча амплітуда дорівнює сумі амплітуд (А = А1 + А2), а в точках з протилежними фазами | A | = | A2-А1 |, при A1 = A2 в цих точках одна хвиля повністю «гасить» іншу. В результаті в просторі утворюються поверхні мінімумів і максимумів інтенсивності коливань (рис. 2), структура яких залежить від форми фазових фронтів интерферирующих хвиль.
Фактично це означає перерозподіл енергії хвильового поля в просторі. Зокрема, для двох плоских хвиль з однаковими амплітудами і нульовими початковими фазами, що поширюються назустріч один одному уздовж осі х, сумарне поле має вигляд стоячої хвилі;
s (x, t) = 2A1coskxcosωt.
У точках х = 0 або mλ / 2 (m - ціле число) розташовані «пучности» стоячій хвилі, в них амплітуда максимальна і дорівнює 2А, на відстані λ / 4 від них знаходяться «вузли», де амплітуда дорівнює нулю. Для пружних хвилі вузлів хвиль тиску відповідають пучности коливальної швидкості, і навпаки; вузли та пучности електричного і магнітного полів електромагнітної хвилі також зрушені на λ / 4. Тому в стоячій хвилі в середньому не відбувається спрямованого перенесення енергії.
Для спостереження інтерференційних картин істотне значення має когерентність хвиль. Фази реальних джерел і випромінюваних ними хвиль неминуче відчувають випадкові флуктуації, і якщо викликані ними відходи різниці фаз Δφ порівнянні або перевищують π / 2, то положення максимумів і мінімумів також хаотичним чином будуть переміщатися в просторі. Тоді при інерційному спостереженні інтерференційна картина буде розмиватися. В акустичних і радіодіапазоні зазвичай цей фактор мало істотний, проте в оптичному діапазоні ситуація інша. При використанні природних джерел світла час, протягом якого фазу хвилі можна вважати постійної, при нормальних умовах становить всього 10-9-10-10 с. Крім того, фаза хвилі відчуває також випадкові флуктуації в площині фронту хвилі. Тому інтерференцію світла довго не вдавалося спостерігати експериментально, і лише на початку 19 століття проблему вдалося вперше вирішити, використовуючи метод поділу джерел (дивись Інтерференція світла). З появою джерел когерентного світла - лазерів - створення і спостереження інтерференції світла не представляє складності.
Неоднорідні середовища, заломлення і віддзеркалення хвиль. Плоскі біжать хвилі, строго кажучи, можуть існувати тільки в однорідному просторі. Коли є різка (в масштабі довжини хвилі λ) межа розділу двох середовищ, виникає відображення хвиль і переломлення хвиль (їх проникнення в другу середу) (рис. 3). Якщо падаюча хвиля і сам кордон плоскі, то плоскими будуть пройшла і відбита хвиля. Зв'язок параметрів цих хвиль визначається граничними умовами, що випливають з рівнянь динаміки відповідного хвильового поля. Зокрема, для електромагнітних хвиль - це умови безперервності тангенціальних компонент векторів напруженості електричного і магнітного полів, в разі пружних хвиль - умови безперервності тиску і коливального зміщення частинок середовища по обидва боки від кордону. В ізотропних середовищах кут відображення αотр дорівнює куту падіння α0, а кут заломлення αпр задовольняє закону Снелла: v2sinα0 = v1sinαnp. Для електромагнітних хвиль в непроводящей і немагнітної середовищі коефіцієнти відбиття і заломлення визначаються Френеля формулами. Ці коефіцієнти виявляються різними для різних поляризацій падаючої хвилі Якщо вектор напруженості електричного поля падаючої хвилі лежить в площині падіння, то при куті падіння α0 такому, що виконується умова tgα0 = n2 / n1 (n1, n2 - показники заломлення середовищ), відбита хвиля не виникає (дивись Брюстера закон), тоді як для іншого поляризації (електричне поле перпендикулярно площині падіння) відображення є завжди. В результаті при відображенні змінюється характер поляризації хвилі. В анізотропних середовищах минулі хвилі різних поляризацій мають різні кути заломлення (дивись Подвійне променезаломлення). Сильний вплив на відбивну здатність матеріалів надає їх електрична провідність; зокрема, більшість металів є хорошими відбивачами в оптіческм і радіодіапазоні.
Послідовні відображення хвиль в напрямку їх поширення від двох або більшого числа поверхонь можуть привести до їх волноводному поширенню. Хвилеводи широко застосовуються в радіо-і оптичному діапазонах, а також в акустиці. Використовуючи кілька добре відображають поверхонь, можна створювати резонатори, хвильове поле яких замкнуто в обмеженому обсязі. Найпростіший приклад такого резонатора для електромагнітних хвиль (часто вживаний в оптичному діапазоні, в тому числі в лазерах) - интерферометр Фабрі - Перо, який представляє собою систему з двох паралельних дзеркал, між якими встановлюється стояча хвиля. При ідеально проводять дзеркалах на їх поверхнях виявляються вузли електричного поля, тому всередині такого резонатора можуть існувати лише хвилі з дискретними значеннями хвильового числа.
Якщо ж середовище є плавно неоднорідною, то хвильове поле можна вважати «квазіплоского» - на відстанях порядку λ зміни амплітуди А і хвильового вектора k будуть досить малими. У таких випадках широко використовується наближення геометричної оптики, в основі якої лежить уявлення хвильового поля у вигляді набору незалежних променів. В ізотропному середовищі напрямок променя збігається з хвильовим вектором k, плавне переломлення променя в неоднорідному середовищі називається рефракцією. Термін «геометрична оптика» зазвичай використовують не тільки для світлової хвилі, але і для хвилі будь-якої фізичної природи (в акустиці аналогічне наближення називається геометричній акустикою). Рефракція хвилі в середовищі з плавним зміною показника заломлення в поперечному напрямку також може привести до волноводному поширенню.
Хвильові пучки. Дифракція хвиль. При нормальному падінні плоскої хвилі на непрозорий екран з отвором d за екраном, згідно із законами геометричної оптики, повинен поширюватися паралельний пучок шириною d навпроти матового відтінку світла і тіні. Однак незалежно від фізичної природи хвилі такий висновок виявляється справедливим тільки до відстаней від екрану порядку r <d2 / λ (ця область називається ближньої зоною). На великих відстанях пучок починає спотворюватися - хвильове поле «затікає» в зону геометричної тіні, а в «освітленій» області з'являються максимуми і мінімуми інтенсивності. Ці явища, які полягають у відхиленні реальних хвильових полів від передбачаються законами геометричної оптики, називаються дифракцией хвиль. При зворотному нерівності r >> d2 / λ (дифракція Фраунгофера) хвильовий фронт стає локально сферичним з кутовою шириною пучка α = λ / d. Причина дифракційних спотворень пучка полягає в тому, що, на відміну від ідеальної плоскої хвилі, обмежений по ширині пучок містить в своєму просторовому спектрі пакет хвильових векторів з кутовим розкидом порядку λ / d. Для наближеного розрахунку дифракційних задач зручний і широко застосовується Гюйгенса - Френеля принцип, згідно з яким хвильове поле в довільній точці поза джерела може бути знайдено у вигляді суперпозиції хвилі (з урахуванням їх інтерференції) від вторинних джерел, наявних на замкнутої поверхні, навколишнього первинне джерело; якщо на шляху між первинною (висвітлює) хвилею і точкою спостереження є непрозорий екран, амплітуда вторинних джерел у відповідних місцях приймається рівною нулю. На малюнку 4 наведена картина, яка спостерігається при дифракції світла від краю непрозорого екрану. Гострі максимуми, що утворюються при дифракції Фраунгофера, можна формувати, використовуючи дифракційні грати - періодичні структури з щілин або відбивачів; такі грати використовуються в якості спектральних приладів. У більш широкому сенсі до дифракційним відносяться всі ефекти, що виникають при поширенні хвилі в середовищах, що містять будь-які неоднорідності, в тому числі малі в порівнянні з λ.
Дифракція обмежує граничні можливості різних пристроїв, що використовують хвильове випромінювання, причому природним масштабом, визначальним ці межі, є довжина хвилі. Так, слаборасходящійся хвильової пучок можливий лише, якщо його ширина набагато перевищує λ. Різні фокусують пристрої (лінзи, дзеркала і їх комбінації) не можуть сфокусувати випромінювання в область розміром, меншим λ. Роздільна здатність приладів, що будують зображення, в тому числі оптичних мікроскопів, також обмежується довжиною хвилі, тому для отримання зображень більш дрібних структур, розмірами меншими λ, використовується електронний мікроскоп.
Випромінювання хвиль. Ефект Доплера. Джерелами хвиль можуть служити будь-які зовнішні впливи, що виводять хвильову систему (середу, поле) зі стану рівноваги; при цьому збуджуються хвилі несуть із собою енергію, що витрачається джерелом. Нестійке в пружною середовищі тіло випромінює акустичні хвилі, джерелом електромагнітних хвиль є змінні струми, т. Е. Прискорено рухомі заряди, наприклад електричний диполь з періодично змінюються в часі дипольниммоментом. У загальному випадку енергія випромінювання розподіляється за різними напрямками нерівномірно.
Випромінювання Хвилі можливо і при рівномірному Русі тіл, что рухаються в якому-небудь середовіщі зі швідкістю, что перевіщує ШВИДКІСТЬ Поширення Хвилі в цьом середовіщі. Так, что рухається з надзвуковою швідкістю (v> v3В) літак або снаряд збуджує ударні Хвилі, что пошірюються під кутом θ = arccos (vф / v) до напрямку руху тела (Маха конус). У середовищі без дисперсії цей конус однаковий для всіх частот, в результаті на фронті такої хвилі утворюється різкий стрибок тиску - ударна хвиля. Таку ж природу має «носова хвиля» на поверхні води, що виникає при русі судів. Електричний заряд, що рухається в діелектричній середовищі з надсвітовою швидкістю v> с / n, випромінює електромагнітні хвилі (Вавилова - Черенкова випромінювання). Випромінювання можливо і при v <с / n, якщо середовище неоднорідне; наприклад, коли заряд перетинає кордон двох середовищ (так зване перехідне випромінювання).
Якщо джерело хвиль і їх приймач (спостерігач) нерухомі, то в лінійному середовищі частота прийнятих хвилі збігається з частотою джерела. Якщо ж джерело рухається, то частота хвиль, що приймаються нерухомим спостерігачем, залежить від напрямку руху джерела. При русі джерела до нерухомого спостерігача (або спостерігача до нерухомого джерела) приймається частота ω буде більше, ніж частота ω0 при нерухомому джерелі; при видаленні джерела від спостерігача частота прийнятого спостерігачем випромінювання буде менше. Така зміна частоти при взаємному русі джерела і приймача хвилі називається Доплера ефектом; цей ефект кінематичний і має місце для хвилі будь-якої фізичної природи.
Зміна частоти хвиль можливо також в процесі їх поширення в нестаціонарному середовищі, параметри якої змінюються в часі. Так, при відображенні хвилі від рухомої назустріч кордону частота відбитої хвилі підвищується.
Нелінійні хвилі. При досить великих амплітудах хвиль починають проявлятися різні нелінійні ефекти (дивись Нелінійна оптика, Нелінійна акустика). Так, для поверхневих хвиль на мілкій воді швидкість руху гребенів виявляється більше, ніж швидкість западин, тому в міру їх поширення відбувається укрученія переднього фронту, що приводить в кінцевому рахунку до їх обвалення. Подібна нелінійна трансформація акустичної хвилі призводить до утворення ударної хвилі, а спочатку синусоїдальний профіль на деякій відстані стає пилкоподібним (рис. 5).
Подібна трансформація профілю хвиль, можлива і в інших хвильових системах без дисперсії, в тому числі електромагнітних, означає появу в її спектрі великого числа вищих гармонік. При наявності помітною дисперсії освіту стрибкоподібних фронтів вже неможливо, і нелінійна еволюція хвиль має більш складний характер, що залежить від співвідношення параметрів нелінійності і дисперсії. При певних умовах можуть існувати стаціонарні біжать хвилі, профіль яких при малих амплітудах близький до синусоїді, а при великих - до послідовності коротких імпульсів. У межі нескінченного періоду виходять відокремлені хвилі - солітони, вони мають тим меншу тривалість і велику швидкість поширення, чим вище їх амплітуда.
Нелінійність може істотно впливати на поширення хвильових пучків. Якщо, наприклад, показник заломлення середовища n залежить від інтенсивності хвилі I так, що dn / dI> 0, то пучок з спадаючої до країв інтенсивністю сам створює умови, що сприяють його волноводному поширенню, що може зменшити або навіть компенсувати дифракційну расходимость, в результаті відбувається самофокусировка пучка (дивись Самофокусіровка світла). З цієї причини, зокрема, потужні лазерні пучки зазвичай виявляються нестійкими і розпадаються на окремі «нитки».
Якщо в просторі перекриваються дві інтенсивні хвилі (в тому числі і різної фізичної природи), відбувається їх нелінійна взаємодія (дивись Взаємодія хвиль), зокрема, низькочастотна хвиля може модулювати високочастотну. Якщо частоти вихідних хвиль рівні відповідно ω1 і ω2, в спектрі з'являються комбінаційні частоти lω1 + mω2, де l і m - цілі числа. Так, при одночасному виконанні двох рівностей: ω3 = ω1 ± ω2 і k3 = k1 ± k2 (званих умовами фазового синхронізму) відбувається ефективна генерація сумарною або різницевої частоти. При тих же умовах може бути зворотний процес - «розпад» хвилі з частотою ω3 на дві з частотами ω1, ω2; подібні резонансні взаємодії можуть відбуватися і за участю чотирьох і більшого числа хвиль (дивись, наприклад, Взаємодія світлових хвиль). Суттєве значення нелінійні процеси мають в активних середовищах, в яких виникають хвильові обурення не поглинаються, а, навпаки, посилюються (зокрема в лазерах). Саме нелінійні фактори, поряд з дисперсією, визначають амплітуду, форму і спектр генеруються такими системами коливань. При деяких умовах ці коливання можуть стати нерегулярними (хаотичними, дивись Динамічний хаос, автохвиль).
Літ .: Горелік Р. С. Коливання і хвилі. 2-е изд. М., 1959; Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теорія хвиль. 2-е изд. М., 1990; Рискін Н.М., Трубецькой Д. І. Нелінійні хвилі. М., 2000; Трубецькой Д. І., Рожневі А. Г. Лінійні коливання і хвилі. М., 2001..
Н. С. Степанов.