Ili heksaedron) je trodimenzionalna figura, svako lice je kvadrat u kojem su, kao što znamo, sve strane jednake. Dijagonala kocke je segment koji prolazi kroz središte figure i povezuje simetrične vrhove. U pravilnom heksaedru postoje 4 dijagonale, a sve će biti jednake. Vrlo je važno ne zamijeniti dijagonalu same figure s dijagonalom njegovog lica ili kvadrata, koji leži u bazi. Dijagonalna strana kocke prolazi kroz središte lica i spaja suprotne vrhove kvadrata.
Formula za pronalaženje dijagonale kocke
Dijagonala regularnog poliedra može se pronaći pomoću vrlo jednostavne formule koju treba zapamtiti. D = a√3, gdje je D dijagonala kocke, a predstavlja rub. Dajemo primjer problema gdje je potrebno pronaći dijagonalu, ako je poznato da je duljina njenog ruba 2 cm, ovdje je sve samo D = 2 even3, čak i ništa ne treba razmatrati. U drugom primjeru neka rub kocke bude √3 cm, a zatim dobijemo D = √3√3 = =9 = 3. Odgovor: D je 3 cm.
Formula pomoću koje možete pronaći dijagonalu lica kocke
dijagonalno 
Također možete pronaći lice po formuli. Dijagonale koje leže na rubovima su samo 12 komada, i svi su jednaki. Sada ćemo zapamtiti d = a√2, gdje je d dijagonala kvadrata, a također je i rub kocke ili strane kvadrata. Razumijevanje odakle dolazi ova formula vrlo je jednostavno. Uostalom, dvije strane kvadrata i dijagonalna forma U toj trio dijagonali igraju ulogu hipotenuze, a strane kvadrata su noge koje imaju istu dužinu. Sjetite se Pitagorina teorema, i sve će odmah pasti na svoje mjesto. Sada je zadatak: rub heksaedra je 8 cm, potrebno je pronaći dijagonalu njegovog lica. U formulu umećemo i dobijemo d = √8 =2 = =16 = 4. Odgovor: dijagonala lica kocke je 4 cm.
Ako je dijagonalno lice kocke poznato
Uz uvjet zadatka, daje se samo dijagonala lica regularnog poliedra, što je, recimo, ,2 cm, i treba pronaći dijagonalu kocke. Formula za rješavanje ovog problema nešto je složenija od prethodne. Ako znamo d, tada možemo pronaći rub kocke, na temelju naše druge formule d = a√2. Dobivamo a = d / =2 = /2 / =2 = 1cm (ovo je naš rub). Ako je ta količina poznata, onda je lako pronaći dijagonalu kocke: D = 1√3 = √3. Tako smo riješili naš problem.
Ako je površina poznata
Sljedeći algoritam rješavanja temelji se na pronalaženju dijagonale pretpostavljajući da je jednak 72 cm 2. Za početak, naći ćemo područje jednog lica, a ukupno ih je šest, tako da se 72 mora podijeliti sa 6, dobivamo 12 cm 2. Ovo je područje jednog lica. Da bismo pronašli rub regularnog poliedra, potrebno je podsjetiti na formulu S = a2, što znači a = √S. Zamijenite i dobijemo = √12 (rub kocke). A ako znamo tu vrijednost, onda dijagonalu nije teško pronaći D = a√3 = √12 =3 = =36 = 6. Odgovor: dijagonala kocke je 6 cm2.
Ako je poznata dužina rubova kocke
Postoje slučajevi kada se problemu daje samo duljina svih rubova kocke. Tada je potrebno podijeliti tu vrijednost na 12. To je broj strana u ispravnom poliedru. Na primjer, ako je zbroj svih rubova 40, tada će jedna strana biti jednaka 40/12 = 3.333. Umećemo u našu prvu formulu i dobijemo odgovor!
U kojem trebate pronaći rub kocke. To je definicija duljine ruba kocke prema površini lica kocke, prema volumenu kocke, dijagonalom lica kocke i dijagonalom kocke. Razmotrite sve četiri opcije za takve zadatke. (Preostali zadaci, u pravilu, su varijacije gore navedenih ili zadaci u trigonometriji, koji su vrlo neizravno povezani s pitanjem koje se razmatra)
Ako znate područje lica kocke, pronađite rub kocke vrlo jednostavno. Budući da je lice kocke kvadrat sa stranom jednakom rubu kocke, njezino područje jednako je kvadratu ruba kocke. Stoga je duljina ruba kocke jednaka kvadratnom korijenu površine njegovog lica, to jest:
i - duljina ruba kocke,
S je površina lica kocke.
Još je lakše pronaći lice kocke u njegovom volumenu. S obzirom da je volumen kocke jednak kocki (trećeg stupnja) duljine ruba kocke, dobivamo da je duljina ruba kocke jednaka korijenu kubnog (trećeg stupnja) njegovog volumena, tj:
i - duljina ruba kocke,
V je volumen kocke.
Pronalaženje dužine ruba kocke duž poznatih dijagonalnih duljina je malo teže. Označavanje pomoću:
i - duljinu ruba kocke;
b - duljina dijagonale lica kocke;
c - duljina dijagonale kocke.
Kao što se može vidjeti na slici, dijagonala lica i rubovi kocke tvore pravokutni jednakostraničan trokut. Stoga, po pitagorejskom teoremu:
Odavde nalazimo:
(da biste pronašli rub kocke koju trebate izvaditi kvadratni korijen od polovice kvadrata dijagonale lica).
Da bismo pronašli rub kocke duž njegove dijagonale, ponovno ćemo koristiti uzorak. Dijagonala kocke (c), dijagonala lica (b) i rub kocke (a) tvore pravi trokut. Dakle, prema Pitagorinom teoremu:
Koristimo gornji odnos između a i b i nadomjestak u formuli
b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. Dobivamo:
a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, odakle nalazimo:
3 * a ^ 2 = c ^ 2, dakle:
Kocka je pravokutni paralelopiped, čiji su svi rubovi jednaki. Stoga se opća formula za volumen pravokutnog paralelepipeda i formula za njezinu površinu u slučaju kocke pojednostavljuju. Također, može se pronaći volumen kocke i njene površine, znajući volumen lopte ispisan u njoj, ili lopticu opisanu oko nje.
Trebat će vam
- duljinu strane kocke, radijus upisane i opisane kugle
instrukcija
Volumen pravokutnog paralelepipeda je: V = abc - gdje su a, b, c njegove dimenzije. Stoga je volumen kocke jednak V = a * a * a = a ^ 3, gdje je a dužina strane kocke, a površina kocke jednaka je zbroju površina svih njezinih lica. Kocka ima šest lica, tako da je njezina površina S = 6 * (^ 2).
Neka se lopta uklopi u kocku. Očito, promjer te kugle bit će jednak strani kocke . Zamjenjujući duljinu promjera u izrazu za volumen umjesto duljine ruba kocke i koristeći da je promjer jednak dvostrukom radijusu, dobivamo tada V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), gdje je d promjer upisanog kruga i r je radijus upisane kružnice, a površina kocke će tada biti S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).
Neka lopta bude opisana oko kocke . Tada će se njegov promjer podudarati s dijagonalom kocke . Dijagonala kocke prolazi kroz središte kocke i povezuje dvije suprotne točke.
Prvo razmotrite jednu od strana kocke . Rubovi ovog aspekta su noge pravokutnog trokuta, u kojima će dijagonala lica d biti hipotenuza. Zatim, prema Pitagorinom teoremu, dobivamo: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.
Zatim razmotrite trokut u kojem je hipotenuza dijagonala kocke , a dijagonala lica d i jedan od rubova kocke a su njegove noge. Slično tome, pitagorejskim teoremom dobivamo: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).
Dakle, prema izvedenoj formuli, dijagonala kocke je D = a * sqrt (3). Dakle, a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Dakle, V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), gdje je R polumjer opisane kugle, površina kocke je S = 6 * ((D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).
Često postoje zadaci u kojima trebate pronaći rub kocke, često to treba činiti na temelju informacija o njegovom volumenu, području aspekta ili njegovoj dijagonali. Postoji nekoliko opcija za definiranje ruba kocke.
U tom slučaju, ako je područje kocke poznato, onda se rub lako može odrediti. Lice kocke je kvadrat sa stranom jednakom rubu kocke. Prema tome, njegovo područje jednako je kvadratnom rubu kocke. Trebate koristiti formulu: a = ,S, gdje je a duljina ruba kocke, a S je površina lica kocke. Pronalaženje ruba kocke po volumenu još je jednostavniji zadatak. Potrebno je uzeti u obzir da je volumen kocke jednaka kocki (u trećem stupnju) duljinu ruba kocke. Ispada da je duljina ruba jednaka kubnom korijenu njegovog volumena. To jest, dobivamo sljedeću formulu: a = ,V, gdje je a dužina ruba kocke, a V volumen kocke.
Dijagonalno, također možete pronaći rub kocke. Prema tome, trebamo: a - duljinu ruba kocke, b - duljinu dijagonale lica kocke, c - duljinu dijagonale kocke. Prema Pitagorinom teoremu, dobijamo: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2, a odavde lako možete izvesti sljedeću formulu: a = √ (b ^ 2/2), koja izvlači rub kocke.
Još jednom, koristeći Pitagorin teorem (^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), možemo dobiti sljedeći odnos: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, iz kojeg potječemo: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, dakle, rub kocke može se dobiti na sljedeći način: a = √ (c ^ 2/3).
